Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найдите все значения действительного параметра а, при которых неравенство
4^х - а·2^х - а + 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно решение.

С помощью замены t = 2^x неравенство легко приводится к квадратному:
t² - at - a + 3 ≤ 0
После простого первого шага многие выбирают незамысловатый путь.
==================================
          Что это? Квадратное неравенство.
          И оно что? Должно иметь решения...
          А значит что? Найдём дискриминант.
          И что он? Положительный, конечно!
          Точно? Не, неотрицательный.
И поехали... D = a² + 4a - 12 ≥ 0; a ≤ -6; a ≥ 2.
==================================

Представим, что нам требуется решить данное неравенство.
Сделаем замену и, решив квадратное, найдём значения t.
Действительно, лишь при D ≥ 0, значения t найдутся.
Но важный вопрос - какие именно значения t.



Первая картинка говорит о том, что основное неравенство решений не имеет,
т.к. 2^x > 0. И всё это несмотря на то, что дискриминант неотрицательный!
Берём на заметку: правый конец отрезка обязан быть положительным.

После проведённого анализа ситуации приступаем к честному решению:

==================================

1) D < 0, -6 < a < 2. На нет и суда нет. Эти значения а не подходят.

2) D = 0, а = -6, а = 2. Найденные значения а следует проверить.

    При а = -6   t = -3,   уравнение 2^х = -3 решений не имеет.
    При а = 2    t = 1,   2^х = 1, решение (х = 0) есть.

3) D > 0; a < -6, a > 2. Рассмотрим каждый интервал по отдельности.

    При а < -6 сумма корней трёхчлена t² - at - a + 3 отрицательна,
    произведение положительно. Значит, оба корня отрицательны.
    Именно этот вариант нас никак не устраивает (см. выше).

    При а > 2 сумма корней трёхчлена t² - at - a + 3 положительна,
    а значит, больший корень непременно положительный.
    Такие значения а забираем с собой в ответ.

Ответ: а ≥ 2

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6151